khá gần nghiệm, và đến lúc này có thể cho máy tự giải.
Dùng số đầu đó ta sử dụng SOLVE để giải.
kết quả tìm được một nghiệm 0,780776406
Nhập số đó vào A để sử dụng sau và tiếp tục tìm nghiệm khác.
Sử dụng cách tương tự trên ta tiếp tục tiềm ra 3 nghiệm khác nhập vào các
biến B,C,D.
giả sử
A=0.780776406
B=-1,449489743
C=3.449489743
D=-1.280776406
Sau đó ta tính tổng và tích từng đôi một thì thấy:
A+D=-0.499999999=-0.5
AD=-0.999999999=-1
B+C=2
BC=-5.000000001=-5
Như vậy ta có:
2x^4-3x^3-14x^2-x+10 = 0
tương đương
(x^2+\frac{1}{2}.x-1)(x^2-2x-5)=0
từ đây ta có thể giải phương trình ra dạng căn thức dễ dàng.
Trong phần trình bày ở trên có đoạn : "Máy MS ta có thể sử
dụng bất kỳ biến số nào trong máy để làm ẩn số
(A,B,C,D,...,X,Y,M) trong khi đó máy ES chỉ có thể dùng biến
X, các biến khác xem như là hằng số cho trước"
Xin được bổ sung thêm rằng : Máy 570ES có thể sử dụng các
chữ khác X làm ẩn ( Như A , B , C, ...) với điều kiện phải chỉ
định nó là ẩn trong phương trình.
VD : Giải phương trình X^2+5X-6
Giải theo ẩn chỉ định là A thì ghi vào màn hình như sau :
A ^2 + 5A-6,A ấn SHIFT SOLVE máy hỏi Solve for A nhập 3
=
Kết quả : 1
Một số tính chất quan trọng của đồng dư thức nè :
a đồng dư b ( mod c ) thì a + n đồng dư b + n ( mod c )
a đồng dư b ( mod c ) thì an đồng dư bn ( mod c )
a đồng dư b ( mod c ) thì a^n đồng dư b^n ( mod c )
Mấy tính chất này xài rất nhiều và cũng rất dễ dàng chứng minh bằng hằng đẳng thức , hoặc
bằng các tính chất toán học thông thường để làm .
Tui xin chứng minh các tính chất trên :
a đồng dư b ( mod c ) a + n đồng dư b + n ( mod c )
Đầu tiên ta phải chứng minh a đồng dư b => a + n đồng dư b + n ( mod c )
Dựa vào định lý a đồng dư b a - b chia hết c
suy ra a - b + n - n chia hết c
suy ra a + n - b - n chia hết c
suy ra a + n - ( b + n ) chia hết c
suy ra a + n đồng dư b + n ( mod c ) ( * )
Ta tiếp tục phải chứng minh a + n đồng dư b + n ( mod c ) => a đồng dư b ( mod c)
Từ a + n đồng dư b + n ( mod c ) suy ra a + n - ( b + n ) chia hết c
Suy ra a + n - b - n chia hết c
suy ra a - b chia hết c
suy ra a đồng dư b ( mod c ) ( ** )
Từ ( *) và (**) ta suy ra a đồng dư b ( mod c ) a + n đồng dư b + n ( mod
Còn về phần của bạn pokemon master , sau đây anh sẽ chỉ em cách làm bài toán thống kê bằng
máy tính fx-500MS .
Đầu tiên , ta ấn phím Mode , bấm tiếp phím 2 ( SD ) để gọi chương trình thống kê .
Sau đó ta lần lượt điền các giá trị của x và các giá trị của tần số tương ứng với x đó như sau :
Ví dụ bảng thống kê sau :
Điểm số ( x ) : 2 3 6 7
Tần số ( n ) : 3 5 7 8
Quy trình bấm phím để giải bài toán này như sau :
2 shift , ( ; ) 3 M+ ( DT )
3 shift , ( ; ) 5 M+ ( DT )
6 shift , ( ; ) 7 M+ ( DT )
7 shift , ( ; ) 8 M+ ( DT )
Quy trình trên là ta lần lượt nhập các số liệu của cột x và các số liệu của cột n . Tức là ta phải
bấm giá trị a nào đó ( nằm ở cột x ) rồi bấm tiếp phím shift và phím , ( để gọi dấu ; ) rồi bấm tiếp
giá trị b nào đó ( là tần số tương ứng của a ) rồ bấm phím M+ ( để gọi phím DT )
Sau khi điền hết số liệu , để tính tổng các giá trị x thì ta bấm phím shift 1 ( để gọi phím S - Sum ) ,
bấm tiếp phím 2 ( để gọi cái biểu tượng chữ E có chữ x kế bên ) rồi bấm = .
Để tính Số trung bình cộng , ta nhấn phím shift 2 ( để gọi phím S-Var ) rồi bấm phím 1 có biểu
tượng x có dấu gạch ngang trên đầu rồi bấm = .
Còn về phương sai này nọ thì em chưa học tới nên anh ko thể nói được .
Lưu ý : _ Đây là cách giải bài toán thống kê của lớp 7
_ Chỉ có chương trình SD ( thống kê ) và Reg ( hồi quy ) thì ta mới gọi được các dấu ; và DT và
S-Sum , S-Var , chữ chương trình Comp bình thường thì bấm tới già cũng ko được đâu .
( Có gì sai xin mấy anh chị lớp trên chỉ giáo cho em với
Còn về thuật toán Euclid thì em xin nói như sau :
Khi chia a cho b ( giả sử đây là phép chia có dư ) dư r thì ta có thể viết
a = bq+r . Có 1 tính chất sau : ( a ; b) = ( b ; r)
Ta viết b và r dưới dạng phân số rồi tìm ƯCLN như cách 1 đã nêu .
Còn nếu không được nữa thì ta phân tích tiếp b = q1.r + r1
Rồi cứ làm như trên thì ta tìm được ƯCLN của a và b .
Trời , sao chả có ai vào topic này hết vậy . Thui kệ , sau đây em xin mạn phép giới thiệu tiếp về
cách tìm chu kì của thương của phép chia là số thập phân vô hạn tuần hòan .
Ví dụ : 1 : 23 = 0,04347826 ( kết quả của máy tính )
Đừng bao giờ lầm tưởng đây là 1 số thập phân vô hạn ko tuần hòan , bởi vì phép chia này có thể
viết được dưới dạng phân số 1/23 .
Nhưng , làm sao để tìm được chu kì của phép chia này ? Thật hơi khó , nhưng mà dễ lắm . Sau
khi bấm máy phép chia 1 : 23 = 0,04347826 ; ta ghi vào giấy số thập phân này ( nhớ bỏ đi con số
cuối cùng ) , tức là phải ghi con số 0,0434782 .
Tiếp tục , ta lấy 23 . 0,0434782 rồi lấy 1 trừ đi kết quả vừa tìm được , nó ra 1,4.10^-6
Ta lấy tiếp số 14 chia cho 23 ra được kết quả 0,608695652 , ghi số 60869565 liền sau số
0,0434782 vào giấy ( sau khi đã bỏ con số 2 cuối cùng )
Sau đó , ta tiếp tục lấy 23 . 0,60869565 rồi lấy 14 trừ đi số đó . Ta được 5.10^-8 . Ta lấy 5 chia
tiếp cho 23 ra được kết quả 0,217391304 .
Ghi 2173913 liền sau số 0,043478260869565 . Ta tiếp tục lấy 23 . 0,2173913 rồi lấy 5 trừ đi kết
quả vừa tìm được . Ta ra con số 1 . 10^-7 . Nếu lấy 1 chia cho 23 thì ta được kết quả ban đầu .
Tức là , ta đã tìm được chu kì của nó .
Vậy , chu kì của nó là 0,(0434782608695652173913)
Chu kì này có 22 chữ số .
Lưu ý : Số chữ số của chu kì ko vượt quá số chia . Như ở trên , số chia là 23 thì chu kì của nó
chỉ được từ 1 đến 23 số , không được hơn . Nếu hơn thì tức là đã sai rùi .
Sau đây là một số bài tập ứng dụng :
Quy ước : kí hiệu ( a ; b ) là ƯCLN(a;b)
Còn kí hiệu [ a ; b ] là BCNN(a;b)
Tìm ( a ; b ) và [ a ; b ] , biết
a) a = 44625 ; b = 19875
b) a = 2859444 ; b = 7188428244
c) a = 12473310 ; b = 57670
Sau đây em xin giới thiệu đôi nét về dãy số Fibonacci .
Dãy số Fibonacci là dãy số có đặc điểm : 1 số bất kì trong dãy số đều bằng tổng hai số
liền trước nó ( dĩ nhiên số đó không phải là hai số đầu tiên rùi )
Đây là dãy số Fibonacci : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; ... .
Còn dãy số Lucas là dãy số tổng quát của dãy số Fibonacci . Người ta quy ước kí hiệu
chữ u là số hạng trong dãy số Fibonacci . Để phân biệt , người ta kí hiệu u{1} ( tức là
chữ u mà số 1 nằm ở dưới chân nó ) gọi là số thứ nhất của dãy Fibonacci . Tương tự ,
u{n} là số thứ n của dãy Fibonacci . Dãy số Lucas có công thức là u{n+1}= u{n} + u{n-1} (
đây được gọi là công thức truy hồi )
Từ dãy số Fibonacci , người ta suy rộng ra nhiều dãy số khác mà trong đó , mỗi số bất kì
đều có quan hệ với hai hay nhiều dãy số liền trước nó , quan hệ này được xác định bằng
một công thức . Các dãy số đó đều là dãy số Fibonacci suy rộng .
Dãy số Fibonacci suy rộng thường có dạng :
_ u{n+1} = au{n} + bu{n-1} + c
_ u{n+1}^k = au{n}^k + bu{n-1}^k + c
Đó là hai công thức truy hồi đơn giản nhất của dãy Fibonacci suy rộng .
Còn sau đây , em xin mạn phép giới thiệu về 2 lọai công thức trong dãy số Fibonacci ,
đó là công thức truy hồi và công thức tổng quát :
_ Công thức truy hồi là công thức thể hiện mối quan hệ của bất kì số nào trong dãy số
với các số liền trước nó .
_ Công thức tổng quát là công thức chỉ thể hiện duy nhất quan hệ của 1 số bất kì với 1
tổng , 1 tích hay một phép tính của các số thực .
Ví dụ như : u{n+1} = u{n} + u{n-1} là công thức truy hồi
Còn u{n} = 123^n + 123n + 1 là công thức tổng quát
Sau đây , em xin post một ít kiến thức về toán tỉ số phần trăm .
Ví dụ : Một hình chữ nhật có chiều dài giảm đi 2% , chiều rộng tăng lên 3% thì diện tích của nó
tăng hay giảm bao nhiêu phần ?
Gọi chiều dài là a , chiều rộng là b .
Theo đề bài , ta có
Diện tích hình chữ nhật lúc sau là S = a( 1 - 2% )b( 1 + 3% )
= ab(1 + 3% - 2% - 3%)
= ab( 1 - 2%)
= ab - 2%ab
Vậy diện tích đã giảm đi 2% .
Sau đây là bài tập cho học sinh lớp 8 :
Cho hình bình hành ABCD có hai đường cao AH và AK ( H thuộc BC , K thuộc CD ) có góc HAK
bằng 30 độ . Biết rằng AB = 6 cm , AD = 4 cm . Tính AH và AK
( ặc , bài này là 1 bài trong đề thi máy tính bỏ túi lớp 8 TP Huế đấy . )
Còn đây là bài cho lớp 7 :
Cho tam giác ABC vuông tại A . Biết AB = 3 cm , AC = 4 cm và trọng tâm G . Tính đoạn AG .
Đây là bài lớp 6 :
Cho đoạn thẳng AB và điểm D thuộc đoạn thẳng đó . Lấy Q là trung điểm AD , P là trung điểm
DB . Tính đoạn PQ biết AB = 6 cm .
Còn đây là bài tổng hợp 6 , 7 , 8 :
1) Ông Kevin gửi vào ngân hàng hàng tháng một khoản tiền là 2000000 đồng với lãi suất 0,25%
mỗi tháng . Biết rằng ổng ko rút tiền lãi ra ( ặc , ngu gì rút ra ) . Hỏi cuối 3 năm sau , ổng rút được
số tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu ?
2) Dennis và Kevin cùng lắp 1 mạch điện sau 6 giờ thì xong . Biết rằng nếu làm một mình thì mỗi
giờ Kevin lắp mạch điện có năng suất gấp đôi Dennis ( do khoẻ hơn , heheheh ) . Vậy nếu làm
một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu ?
Dear pokemon master : Mấy bài của lớp 6 , lớp 7 dễ lắm em à . Ráng làm nha em . Chúc em
thành công .
Trời ,sao chả có ai giải bài vậy ?
Thui , để tui gợi ý bài toán lớp 8 ( thực chất phải sử dụng phương pháp giải của lớp 9 )
Như vầy , hình bình hành ABCD có 2 đường cao AH ( H thuộc BC ) và AK ( K thuộc CD ) và góc
HAD bằng alpha độ . Ta dễ dàng chứng minh được góc HAK bằng góc ABH
( Tacó AK vuông góc với DC , DC // AB suy ra KAB bằng 90 độ .
Ta lại có KAB lại bằng tổng 2 góc KAH và HAB , suy ra góc KAH + góc HAB = 90độ
Mà góc HAB + góc ABH = 90 độ ( tam giác ABH là tam giác vuông do AH vuông góc BC )
kết hợp hai ý trên ta suy ra góc KAH = góc ABH )
Xét tam giác ABH có góc AHB = 90 độ
=> sin 30độ = sin góc ABH = AH/AB = 0,5
ta tính được AH = AB . 0,5 = 6 . 0,5 = 3 ( cm )
Chứng minh tương tự ta có được AK = 2 cm
Dễ mà sao ko thấy ai làm vậy ?
Còn đây là bài lớp 7 :
Dùng định lý Pythagore ( nhìn vào là thấy bộ ba Pythagore chình ình rùi ) ta suy ra BC = 5 cm
kéo dài AG sao cho nó cắt BC tại E
=> AE là trung tuyến ứng với cạnh huyền
Dễ thấy AE = 1/2 BC Mà AG = 2/3 AE
suy ra AG = 1/3 BC
Mà BC = 5
kết hợp hai ý trên suy ra AG = 5/3( cm ) gần bằng 5,333 cm
Bài lớp 6 thì dễ của dễ :
Dễ thấy PQ = 1/2 AB
Mà AB = 6 cm
Suy ra PQ = 3 cm
* Còn bài tổng hợp 6 , 7 , 8 thì còn dễ ác liệt nữa
bài 1 ra kết quả là 75429223,42 ( đúng ko nhỉ quý vị )
bài 2 thì dễ ẹt , kết quả là Dennis làm trong 1,5 ngày còn Kevin thì làm trong 0,75 ngày
Hic , cái này bạn phải xài đồng dư thức mới làm được .
Bi giờ tui xin giải thích đồng dư là gì trước đã :
Đồng là cùng , dư là số dư . Đồng dư có nghĩa là cùng số dư khi cùng chia cho một số .
a đồng dư với b ( mod c ) có nghĩa là khi a và b cùng chia cho b thì có cùng số dư .
Ví dụ , 7 chia 2 dư 1 , 3 chia 2 cũng dư 1 .
Vậy ta nói 7 đồng dư với 3 ( mod 2 )
Một định lí mở đầu và rất quan trọng là a đồng dư với b ( mod c ) khi và chỉ khi a - b chia hết cho
c.
Ví dụ như hời nãy tui nói 7 đồng dư với 3 ( mod 2 )
Ta lấy 7 - 3 = 4 chia hết cho 2 .
Chứng minh :
a : c = q dư r suy ra a = qc +r
b : c = d dư r suy ra b = dc + r
Ta có : a - b = qc + r - dc - r = qc - dc = c(q - d ) chia hết cho c
Một số tính chất quan trọng của đồng dư thức nè :
a đồng dư b ( mod c ) thì a + n đồng dư b + n ( mod c )
a đồng dư b ( mod c ) thì an đồng dư bn ( mod c )
a đồng dư b ( mod c ) thì a^n đồng dư b^n ( mod c )
Mấy tính chất này xài rất nhiều và cũng rất dễ dàng chứng minh bằng hằng đẳng thức , hoặc
bằng các tính chất toán học thông thường để làm .
Nhưng như thế chưa đủ , tui xin cho các bạn định lí sau :
" Số bị chia luôn đồng dư với số dư của 1 phép chia "
Chứng minh :
ta có a : b = q dư c
suy ra a = bq + c
Ta có , c luôn nhỏ hơn b
suy ra c = b.0 + c ( thương = 0 )
vậy a đồng dư c ( mod b )
Chỉ cần ứng dụng những điều trên thì bạn có thể giải các bài toán dạng a^n : b với a^n là một số
bự hơn con voi .
Nhưng ngoài ra , có một số bài về luỹ thừa tầng thì ngoài đồng dư thức , ta còn phải sử dụng
nhiều phép toán thông minh khác chứ không thể ôm nguyên xi kiến thức về đồng dư này vào làm
được .
Đồng dư thức cũng có nhiều ứng dụng trong việc tìm chữ số tận cùng , tìm số dư , chứng minh
hằng đẳng thức , bất đẳng thức ...
Mong các bạn có thể tham khảo .
Còn đối với bài tìm số chính xác của 15^10 , 23^9 , 78^8 thì cũng dễ thui . Đây là bài giải của tui
về bài 15^10 ( mấy cái kia các bạn làm tương tự là ra , dễ lắm )
Khi bấm máy tính thì màn hình máy tính hiện ra như sau : 15^10 = 5,766503906.10^11
Như vậy , theo em thì số này có 12 chữ số . Nhưng ta sẽ ko lấy số 6 vì số đó ko chính xác ( do
máy tính có chức năng tự làm tròn nên số 6 có thể được làm tròn bởi các số sau ) , ta có số sau :
576650390abc
Do số tận cùng của x^y này là số 5 , nên c sẽ là số 5 .
Ta thấy nếu cơ số có số tận cùng là số 5 và số mũ chẵn thì 2 số tận cùng của kết quả là 25 , vì
thế nên b = 2
lúc nãy trên máy tính , thì màn hình hiện số 5,766503906 . 10^11
số đứng sau số 6 là số 2 , mà theo quy tắc làm tròn thì số 6 sẽ được giữ nguyên , nên ta dễ dàng
suy ra được a = 6
Và số chính xác sẽ là 576650390625
Rất đơn gian phải không nào .
Ngoài ra , số chữ số của a^n bằng [ n.log a] + 1
( Kí hiệu [a] được gọi là phần nguyên của a )
CMR: với mọi tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính đơn vị điều kiện cần và
đủ để tam giác ABC đều là:
Mà thui , bi giờ thì giải bài của hong_quang_judge trước đi nhé
Tính số chính xác của : 23^9
Dễ thui mà sao chẳng có ai làm thế
Đầu tiên , bấm máy , nó ra như sau : 1,801152661 . 10^12
Theo quy tắc trên , ta đoán được số này có 13 chữ số , đồng thời , do số 1 ko chính xác nên ta
bỏ đi con số 1 này . Vậy , ta có con số sau : 180115266abcd . Tuy nhiên , do số cuối là 1 nên có
thể a = 1 hoặc a = 0
Theo quy luật , nên số cuối cùng của luỹ thừa này sẽ là số 3 => d = 3
Tiếp tục . Ta có 23^9 = 23^5 . 23^4 = 6436343 . 279841
Để tìm 3 số cuối cùng , ta lấy 343 . 841 = 288463
như vậy b = 4 , c = 6 .
Nếu a = 0 thì b >= 5 , nhưng b a = 1
vậy số chính xác của 23^9 là 1801152661463
Còn bài 9^1999 chia cho 36 hình như dư 8 thì phải
Ta có : 9 đồng dư 9 ( mod 36 )
suy ra ta có : 9^2 đồng dư 9 ( mod 36 )
9^3 đồng dư 9 ^2 . 9 đồng dư 9 . 9 đồng dư 9 mod 36
9^4 đồng dư 9 mod 36
Tương tự thế ta có 9^n đồng dư 9 mod 36
Hay nói cách khác , 9^n chia 36 dư 9
Đề này hong_quang_judge hình như post sai thì phải , nếu đề đúng thì phải là 9^1999 : 33 dư bi
nhiu
Định lí Bơ-zút
Dư của phép chia P(x) chia ( ax + b ) là P(-b/a)
Chứng minh :
Ta có P(x) = ( ax + b).Q(x) + R(x) ( điều hiển nhiên)
Suy ra P(-b/a) = [a.(-b/a) + b ].Q(x) + R(x)
hay nói cách khác , P(-b/a) = R(x)
Nếu P(-b/a) = 0 thì phép chia này là phép chia hết
Tìm số dư của P(x) = 3x^3 + 2x^2 + 4x + 1 khi cha cho 2x - 3
Đặt vấn đề:Tìm ƯCLN(40096920;9474372;5113543Cool
Cơ sở: Tìm ƯCLN(a;b). Giả sử:a>b, ta chia a cho b,được:a=b*k1+a1 (b>a1) hay
a ≡ a1 (mod b).Chia b cho a1,được:b=a1*k2+a2 (a1>a2) hay b ≡ a2 (mod a1)
Lặp lại qua trình trên cho đến khi an+1= 0,khi đó: ƯCLN(a;b)=an
Trên casio FX-570 ES,mặc định chế độ làm tròn FIX 0,sau đó ghi liên tiếp 2 công thức sau lên
màn hình (Hai công thức ngăn cách bởi Alpha : )
0/(A-X*Rnd(A/X-0.5)) : A-X*Rnd(A/X-0.5)
Sau khi nhập nhấn Calc,máy hỏi:A? Nhập 40096920 =
