“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
2. Nếu k1 = 0 hoặc k2 = 0 thì bài toán trở về hệ chỉ có một lò xo như 1.1.
MỤC ĐÍCH
1. Củng cố, nâng cao dần độ khó của bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa.
2. Quét hết các dạng toán chỉ có lò xo và vật.
Bài 1.5 Cho hệ gồm hai lò xo mắc nối tiếp rồi gắn vào vật đặt trên mặt phẳng ngang
không ma sát như hình vẽ. Kích thích vật theo
m
k2
phương ngang, dọc theo hai trục của lò xo.
k1
Chứng minh vật dao động điều hòa. Tìm biểu
thức tính chu kì.
Giải
x
Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục
tọa độ như hình vẽ.
- Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi của
u
r
u
r
P và phản
hai lò xo k2 F dh 2 , trọng lực
ur
u
lực N được biểu diễn như hình vẽ.
O
k1
r
r N
Fdh 2
- Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
uuur u ur
r u
r
Fdh 2 + P + N = ma (1)
uuu uuur r
r
Tại điểm nối hai lò xo: Fdh1 + Fdh 2 = 0 (2)
Gọi x1 và x2 là độ biến dạng của mỗi lò xo khi vật có li độ x thì: x = x1 + x2 (3)
Chiếu (1) và (2) lên trục Ox ta có:
−k2 x2 = mx "(4)
−k1 x1 + k2 x2 = 0(5)
- 11 -
x
r
P
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
Thay (3) vào (5) ta được x2 =
−
k1
x thay tiếp vào (4) ta có:
k1 + k2
k1k2
x = mx "
k1 + k2
Đặt ω =
k1k2
ta được x ''''+ ω2 x = 0
( k1 + k2 ) m
Vậy vật dao động điều hòa với chu kì : T =
2π
= 2π
ω
(k
1
+ k2 ) m
k1k2
NHẬN XÉT
1. Dao động của hệ có hai lò xo trên sẽ tương đương với một lò xo có độ cứng
kk
k= 1 2 .
k1 + k2
2. Nếu k1 = 0 hoặc k2 = 0 thì vật không dao động.
3. Nếu k1 = ∞ → k = k1 hoặc k2 = ∞ → k = k2 thì hệ giống như chỉ có 1 lò xo, lò xo
còn lại chỉ là một thanh cứng không có khối lượng.
MỤC ĐÍCH
1. Củng cố, nâng cao dần độ khó của bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa.
2. Quét hết các dạng toán chỉ có lò xo và vật.
B. Bài tập có hướng dẫn
Bài 1.6 Xét hệ gồm một lò xo có độ cứng k đặt thẳng đứng. Đầu dưới gắn cố
định lên giá đỡ, đầu trên gắn vào một vật có khối lượng m. Khi cân bằng thì trục
của lò xo có phương thẳng đứng. Bỏ qua mọi ma sát. Chứng tỏ vật do động điều
hòa khi được kích thích theo phương thẳng đứng.
Hướng dẫn
∆l0
O
x
- 12 -
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
C1: Phương pháp động lực học.
Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình vẽ.
u
r
u
r
P được biểu diễn như
- Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi F dh và trọng lực
hình vẽ.
- Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
uuu u
r r
r
Fdh + P = ma
uuu u r
r r
- Tại vị trí cân bằng: Fdh + P = 0
- Chiếu các lực lên trục Ox ta được: −k ∆l0 + mg = 0 (1)
Khi vật có li độ x: −k (∆l0 + x) + mg = ma (2). Thay (1) vào (2) ta có:
−kx = mx " → x " +
kx
k
= 0 . Đặt ω 2 =
ta có: x" + ω 2 x = 0 .
m
m
Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì: T = 2π
m
.
k
C2: Phương pháp năng lượng.
+ Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng và
mốc tính thế năng hấp dẫn tại vị trí cân bằng của vật.
+ Cơ năng của hệ dao động khi vật có li độ x là :
1
1
E = Eđ + Et → E = k (∆l0 + x)2 + mv 2 − mgx=const
2
2
+ Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được:
0 = k ( ∆l0 + x).x'' + mv.v ''− mg.x '' → 0 = k (∆l0+ x) + mx "− mg
→ (k ∆l0 − mg ) + kx + mx " = 0 → kx + mx " = 0
Đặt ω 2 =
.
k
. Vậy ta có : x" + ω 2 .x = 0
m
Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì: T = 2π
- 13 -
m
.
k
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
NHẬN XÉT
Đây là bài tập đơn giản. Do vậy giáo viên chỉ cần gợi ý phương pháp động lực học nói
chung là học sinh có thể làm được. Tập trung vào phân tích cho học sinh sự khác biệt
giữa thế năng đàn hồi và thế năng hấp dẫn và liệu rằng mốc thế năng khác nhau có
được không.
MỤC ĐÍCH
1. Củng cố phương pháp chứng minh một vật dao động điều hòa.
2. Biết cách xử lí khi tính năng lượng mà gặp hai loại thế năng khác nhau.
Bài 1.7 Xét hệ gồm một lò xo có độ cứng k. Một đầu gắn cố định lên giá đỡ, đầu còn
lại treo vào một vật có khối lượng m. Hệ được đặt trên mặt phẳng nghiêng như hình
vẽ. Bỏ qua mọi ma sát. Chứng tỏ vật do động điều hòa khi được kích thích theo
phương của trục lò xo.
Giải
C1: Phương pháp động lực học.
Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như
hình vẽ.
u
r
- Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi F dh trọng lực
u
r
ur
u
P và phản lực N được biểu diễn như hình vẽ.
x
- Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
uuu u ur
r r u
r
Fdh + P + N = ma
uuu u r
r r
- Tại vị trí cân bằng: Fdh + P = 0
- Chiếu các lực lên trục Ox ta được: k ∆l0 − mg sin α = 0 (1)
Khi vật có li độ x: k (∆l0 − x) − mg sin α = ma (2).
Thay (1) vào (2) ta có:
−kx = mx " x" + → x " +
kx
k
= 0 . Đặt ω 2 =
ta có: x" + ω 2 x = 0 .
m
m
- 14 -
m
O
α
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì: T = 2π
m
.
k
C2: Phương pháp năng lượng.
+ Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng và
mốc tính thế năng hấp dẫn tại vị trí cân bằng của vật.
+ Cơ năng của hệ dao động khi vật có li độ x là :
1
1
E = Eđ + Et → E = k (∆l0 +x)2 + mv 2 − mg .x.sinα =const
2
2
+ Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được:
0 = k ( ∆l0 +x).x'' + mv.v ''− mg.x ''sin α → 0 = k ( ∆l0+x) + mx "− mg sin α
→ (k ∆l0 − mg sin α ) + kx + mx " = 0 → kx + mx " = 0
Đặt ω 2 =
.
k
. Vậy ta có : x" + ω 2 .x = 0
m
Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì: T = 2π
m
.
k
NHẬN XÉT
- Nếu góc α = 0 , vật nằm trên mặt phẳng ngang, bài toán trở về bài 1.1.
- Nếu góc α =
π
, lò xo bị dựng thẳng đứng, bài toán trở về bài 1.6.
2
- Chu kì không phụ thuộc vào góc ngiêng α .
MỤC ĐÍCH
1. Rèn luyện phương pháp chứng minh một vật dao động điều hòa.
2. Rèn luyện phương pháp tính năng lượng mà gặp hai loại thế năng khác nhau.
Bài 1.8 Hai lò xo có chiều dài tự nhiên L 01 và
L02. Hai đầu của lò xo gắn vào 2 điểm cố định A
và B. Hai đầu còn lại gắn vào 1 vật có khối
lượng m. Chứng minh m dao động điều hoà khi
được kích thích dọc theo trục lò xo.
- 15 -
A
k1
m
k2
B
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
* Trường hợp 1. AB = L01 + L02 ( Tại VTCB hai lò xo không biến dạng )
Xét vật m ở thời điểm t có li độ là x:
r uuu uuur
r
u
m.a = Fdh1 + Fdh 2 . Chiếu lên trục Ox, ta có:
ma = −k1.x − k2 .x = − x(k1 + k2 )
⇔ ma + x( k1 + k2 ) = 0 ⇒ x "+
Đặt ω 2 =
k1
A
k1 + k2
.x = 0 .
m
m
k2
O
B
x
k1 + k2
. Vậy ta có: x "+ ω 2 .x = 0 ⇒ .
m
Vậy vật m dao động điều hoà với tần số góc là ω =
k1 + k2
m
* Trường hợp 2. AB > L01 + L02(Trong quá trình dao động hai lò xo luôn luôn bị
dãn).
Gọi ∆l1 và ∆l2 lần lượt là độ dãn của hai lò xo tại VTCB
uuuu uuuur
r
u
+ Xét vật m ở VTCB: 0 = F0 dh1 + F0 dh 2 .
Chiếu lên trục Ox, ta được
k2 .∆l2 − k1.∆l1 = 0
(1)
r uuu uuuu
r
r
+ Xét vật m ở thời điểm t, có li độ x: m.a = Fdh1 + Fdh 2
Chiếu lên trục Ox: ma = Fdh 2 − Fdh1 ⇔ mx " = k2 (∆l2 − x ) − k1 (∆l1 + x)
(2)
Thay (1) vào (2) ta được: ma = −k1.x − k2 .x = − x(k1 + k2 )
k1 + k2
k +k
.x = 0 .Đặt ω 2 = 1 2 . Vậy ta có: x "+ ω 2 .x = 0
m
m
k +k
Vậy vật m dao động điều hoà với tần số góc là ω = 1 2
m
⇔ ma + x(k1 + k2 ) = 0 ⇒ x "+
* Trường hợp 3.AB < L01 + L02 ( trong quá trình dao động hai lò xo luôn luôn bị
nén).
Gọi ∆l1 và ∆l2 lần lượt là độ nén của hai lò xo tại VTCB
- 16 -
