SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
1
1
1
1
I2 = ∫ 2
dx =
2 0 x − x +1
2
Vậy I = I1 + I 2 =
π
6
∫π
−
6
π
6
π
3
3
3 6
3π
1 + tan 2 t dt =
1.dt =
t =
∫−
3
3 2
3 π
3 −π
9
tan 2 t +
6
6
4
4
1
(
)
3π
6
1
Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫
0
x2 − 1
dx
x4 + 1
Ta có: x 4 + 1 = x 4 + 2 x 2 + 1 − 2 x 2 = ( x 2 + 1) − 2 x 2 = ( x 2 − 2 x + 1) ( x 2 + 2 x + 1)
2
x2 − 1
Ax + B
Cx + D
+ 2
; ∀x
Phân tích: 4 = 2
x + 1 x + 2x + 1 x − 2x + 1
(
)
(
)
x 2 − 1 = ( Ax + B ) x 2 − 2 x + 1 + ( Cx + D ) x 2 + 2 x + 1 ; ∀x
(
)
(
)
x 2 − 1 = ( A + C ) x 3 + − A 2 + B + C 2 + D x 2 + A − B 2 + C + D 2 x + B+ D; ∀x
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có:
2
A = −
2
A + C = 0
1
B = − 2
−A 2 + B + C 2 + D = 1
⇔
⇔
A − B 2 + C + D 2 = 0
C = 2
B + D = −1
2
D = − 1
2
Khi đó:
1
I=∫
0
x2 − 1
2
dx =
4
4
x +1
1
∫x
0
2x − 2
2
− 2x + 1
(
2
4
dx −
2
=
ln x 2 − 2 x + 1 − ln x 2 + 2 x + 1
4
)
1
0
1
∫x
0
2x + 2
2
+ 2x + 1
dx
1
2 x2 − 2 x + 1
2
=
ln 3 − 2 2
ln 2
÷ =
4 x + 2x + 1 ÷
4
(
)
0
2.8 Giải pháp 8: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức
bậc lớn hơn hai.
b
Tính tích phân I = ∫
a
f ( x)
dx
g ( x)
với g ( x) = ( x − a1 ) . ( x − a2 ) ... ( x − ai −1 ) ( x 2 + mx + l ) ... ( x − an ) ; ( m 2 − 4l < 0 )
k
Giáo viên: Trần Bá Tuấn
Trang - 13
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
5
Ví dụ 1: Tính tích phân I = ∫
1
Ta có:
(x
2 x 2 + 18
2
− 6 x + 13
)
=
2
(x
(
2 x 2 + 18
x 2 − 6 x + 13
Ax + B
− 6 x + 13
2
)
2
+
)
dx
2
Cx + D
; ∀x
x − 6 x + 13
2
(
)
⇔ 2 x 2 + 18 = ( Ax + B ) + ( Cx + D ) x 2 − 6 x + 13 ; ∀x (*)
⇔ 2 x 2 + 18 = Cx 3 + ( −6C + D ) x 2 + ( A + 13C − 6 D ) x + B + 13D; ∀x
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có:
C = 0
A = 12
−6C + D = 2
B = −8
⇔
⇔
A + 13C − 6 D = 0
C = 0
B + 13D = 18
D = 2
Khi đó:
5
I=∫
1
(x
− 6 x + 13
2
5
= 6∫
1
(x
5
2 x 2 + 18
(x
1
12 x − 8
2
− 6 x + 13
5
2x − 6
2
)
2
dx = ∫
− 6 x + 13
)
2
dx + 28∫
1
5
)
dx + ∫
2
1
2
dx
x − 6 x + 13
2
5
1
( x − 3 ) 2 + 4
2
dx + ∫
1 ( x − 3)
2
2
+4
dx
= I1 + I 2 + I 3
5
Với I1 = 6∫
1
(x
2
5
I 2 = 28∫
1
− 6 x + 13
1
( x − 3 ) 2 + 4
2
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = −
π
4
I 2 = 28 ∫
π
−
4
=
5
2x − 6
1
4 tan 2 t + 4
2
)
2
dx
−6
dx = 2
÷ =0
x − 6 x + 13 1
2
. Đặt x − 3 = 2 tan t ⇒ dx = 2 ( 1 + tan t ) dt
π
π
và x = 5 ⇒ t =
4
4
(
)
.2 1 + tan 2 t dt =
7
2
π
4
∫π cos
−
2
tdt =
4
7
4
π
4
∫π ( 1 + cos 2t ) dt
−
4
π
4
7 1
7π
t + sin 2t ÷ π = + 1÷
4 2
4 2
−
4
5
I3 = 2∫
1
1
( x − 3)
2
+4
(
)
dx . Đặt x − 3 = 2 tan t ⇒ dx = 2 1 + tan 2 t dt
Giáo viên: Trần Bá Tuấn
Trang - 14
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = −
π
4
I3 = 2 ∫
−
π
4
1
π
π
và x = 5 ⇒ t = .
4
4
(
π
4
)
.2 1 + tan 2 t dt = ∫ 1dt = t
4 tan t + 4
2
−
Vậy I = I1 + I 2 + I 3 =
=
π
2
11π 7
+
8
4
1
Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫
0
Phân tích:
π
4
π
4
π
−
4
2 x 2 + 2 x + 13
( x − 2 ) ( x 2 + 1)
2
(
=
2 x 2 + 2 x + 13
( x − 2 ) ( x 2 + 1)
dx
2
A
Bx + C
Dx + E
+
+ 2
; ∀x
2
x−2
x +1
x2 + 1
(
)
)
(
)
⇔ 2 x 2 + 2 x + 13 = A x 2 + 1 + ( Bx + C ) ( x − 2 ) + ( Dx + E ) x 2 + 1 ( x − 2 ) ; ∀x (*)
⇔ 2 x 2 + 2 x + 13 = ( A + D ) x 4 + ( −2 D + E ) x 3 + ( 2 A + B + D − 2 E ) x 2
+ ( −2 B + C − 2 D + E ) x + A − 2C − 2 E ; ∀x
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có:
A + D = 0
A = 1
−2 D + E = 0
B = −3
⇔ 2 A + B + D − 2 E = 2 ⇔ C = −4
−2 B + C − 2 D + E = 2
D = −1
A − 2C − 2 E = 13
E = −2
Khi đó:
1
I=∫
0
1
2 x 2 + 2 x + 13
( x − 2 ) ( x 2 + 1)
1
2
1
1
1
3x + 4
x+2
dx − ∫
dx − ∫ 2
dx
2
2
x − 2)
0 (
0 x +1
0 x +1
dx = ∫
1
(
)
1
1
1
1
3
2x
4
1 2x
1
dx − ∫
dx − ∫
dx − ∫ 2
dx − 2∫ 2
dx
2
2
2
2 0 x2 + 1
2 0 x +1
x +1
( x − 2)
0
0 x +1
0
=∫
(
)
1
(
)
1
1
1
3 1
1
4
1
= ln x − 2 0 +
− ln x 2 + 1 − ∫
dx − 2 ∫ 2
dx
2
2
0
2
2 x +1 0 2
0 x +1
0 x +1
1
(
= − ln 2 −
)
3 1
3
3
− ln 2 − I1 − I 2 = − ln 2 − − I1 − I 2
4 2
2
4
1
Tính I1 = ∫
0
4
(x
2
)
+1
2
(
)
dx . Đặt x = tan t ⇒ dx = 1 + tan 2 t dt .
Giáo viên: Trần Bá Tuấn
Trang - 15
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 và x = 1 ⇒ t =
π
4
Suy ra: I1 = ∫
4
0
π
4
0
= ( 2t + sin 2t )
1
( tan
=
2
)
t +1
π
4
π
4
( 1 + tan t ) dt = ∫ 4 cos
2
2
2
0
π
4
tdt = ∫ 2 ( 1 + cos 2t ) dt
0
π +2
2
1
dx . Đặt x = tan t ⇒ dx = 1 + tan 2 t dt .
x +1
Tính I 2 = 2∫
(
2
0
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 và x = 1 ⇒ t =
π
4
Suy ra: I 2 = ∫
0
)
π
4
π
4
π
2
π
1 + tan 2 t dt = ∫ 2dt = 2t 04 =
2
2
tan t + 1
0
(
3
2
3
4
)
3
2
Vậy: I = − ln 2 − − I1 − I 2 = − ln 2 − π −
7
4
2.9 Các bài tập áp dụng
Tính các tích phân sau:
1
2
1
dx
2
0 9x + 6x + 1
1) I = ∫
1
2
4
1
dx
2
x − 2x + 2
2) I = ∫
1
0
2
0
0
10) I =
1
x3 + 2 x 2
dx
x2 − 4x − 5
7) I = ∫
∫
−1
1
0
(x
(
2
− 4x + 3
1
)
x x +1
3
)
2
dx
dx
2
x4 + 1
16) I = ∫ 6
dx
1 x +1
6) I =
11) I = ∫
0
x 4 − 8 x3 + x − 1
(x
2
− 5x + 6
)
2
0
2 x 2 + 5 x − 17
(x
2
)
− x +1
2
x 4 − 5x 2 + 3x − 7
∫1 x3 − x 2 − 4 x + 4 dx
−
12) I =
x3 + 3x 2 + x + 6
∫
(x
2
15) I =
∫x
2
1
dx
x2 + 1
dx
x4 − x2 + 1
0
9) I =
−1
x4
14) I = ∫ 4
dx
2
1 2 x + 5x + 3
1
∫
0
dx
2
17) I = ∫
1+ 5
2
1
2 x 2 − 8 x + 10
dx
x3 + x 2 − 4 x − 4
1
x
2
13) I = ∫
8) I = ∫
3
2
x2 + 1
5) I = ∫ 4
dx
0 x +1
x3
4) I = ∫ 2
dx
x −1
0
1
dx
x − 2 x2 + x
3) I = ∫
18) I = ∫
0
5
2
)
− 2x + 1
2
dx
1
dx
− x2
4x − 3
( x + 1) ( x
2
− 3x + 5
)
2
dx
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp 12 cơ
bản, 12 nâng cao và luyện thi Đại học. Trong quá trình học chuyên đề này, học
Giáo viên: Trần Bá Tuấn
Trang - 16
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học
sinh niềm đam mê, yêu thích môn Toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận
dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học,
tự nghiên cứu. Kết quả của việc dạy học thực nghiệm lớp 12A 1 với lớp dạy không
thực nghiệm 12A4 như sau:
Đề ra:
Tính các tích phân sau:
1
a) I = ∫
0
1
1
4
dx
2
x −4
b) I =
3
∫1 x 2 − 4 x + 4dx
−
1
x 4 +1
e) I = ∫ 6 dx
1 x +1
3x 2 + x − 2
d )I = ∫
dx
x2 +1
1
2
0
2
3
4x + 3
dx
2 x + 3x + 4
c) I = ∫
f )I = ∫
0
x 4 − 8x 3 + x −1
dx
( x 2 − 5 x + 6) 2
Kết quả của lớp dạy thực nghiệm 12A1 là
Điểm 0
1
2
3
Số
lượng
4
5
7
8,5
9
10
5
2
6
7
15
11
1
7
8
9
10
Kết quả của lớp không dạy thực nghiệm 12A4 là
Điểm 0
1
Số
5
lượng
2
6
3
4
5
6
4
8
4
3
Dựa vào kết quả khảo sát thực nghiệm, ta thấy rằng ở lớp dạy thực nghiệm
của lớp 12A1 thì tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên là 39/41 chiếm tỉ lệ
95,12%. Đặc biệt tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi khá cao. Trong khi đó, ở lớp không
dạy thực nghiệm 12A4 thì tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình rất thấp, chỉ có 7/30
chiếm tỉ lệ 23,33%, không có học sinh nào đạt điểm khá và giỏi. Qua đó giúp tôi tự
tin hơn khi thực hiện đề tài này.
V. KẾT LUẬN
Dạng toán tích phân nói chung và tích phân hữu tỷ nói riêng rất đa dạng và
phong phú. Mỗi bài toán có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh
hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên
đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy
sự sáng tạo. Để đạt được kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều
thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan.
Giáo viên: Trần Bá Tuấn
Trang - 17
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã
hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài
toán phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải.
Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải, song việc tìm ra một lời gải hợp
lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ. Giáo viên trước hết phải cung
cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh
cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vận dụng linh hoạt
các kiến thức cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải quyết bài toán tạo cho học sinh
tác phong tự học, tự nghiên cứu.
Trong khuôn khổ thời gian có hạn, tôi cũng chỉ đưa ra được các ví dụ, các
bài toán điển hình. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các độc giả và đồng nghiệp
để chuyên đề này ngày càng được đầy đủ và hoàn thiện hơn.
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương
– Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2008). Đại số và giải tích 12 (cơ bản), NXB
Giáo dục .
[2]. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn
Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng (2008). Đại số và giải tích 12 (nâng cao), NXB
Giáo dục
[3]. Trần Phương (2010). Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân,
NXB Đại học quốc gia Hà Nội .
[4]. Phan Huy Khải (2010). Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học, NXB Đại
học quốc gia Hà Nội
Sông Ray, ngày 19 tháng 5 năm 2015
Người thực hiện
Trần Bá Tuấn
Giáo viên: Trần Bá Tuấn
Trang - 18
